Verificación de la prueba: Hay infinitos números irracionales.

Question

Quiero saber si esto se mantiene:

Un número irracional no puede escribirse de la forma $a/b$ donde $a,b \in \mathbb{Z}$ y $b \neq 0$ . Supongamos que existe un conjunto finito de números irracionales $\{r_1,r_2,...r_n\}$ en orden ascendente. A continuación, $r_n$ sería el mayor número irracional posible.

$r_n + 1$ es, sin embargo, mayor y está fuera del conjunto de los números irracionales, por lo que podemos escribirlo de la forma $a/b$ . Entonces $r_n = \frac{a}{b}-1 = \frac{a-b}{b}$ . Pero, como se ha dicho antes, ambos $a$ y $b$ son enteros por lo tanto $a-b$ también lo es. Podríamos dejar que $a-b = c \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{c}{b} \in \mathbb{Q}$ . Esto es claramente una contradicción ya que $r_n\notin \mathbb{Q}$ .

En consecuencia, el conjunto de números irracionales tiene que ser infinito.

Answer 1

Sí, esta es una prueba clara y concisa de que hay infinitos números irracionales.