Imagen de $S^1$ a través de $f(z)=\frac{-c}{a+bz}$

Question

Tengo una confusión sobre el siguiente problema: Sea $a,b,c>0$ y $f(z)=\dfrac{-c}{bz+a}$ . Si $a\neq b$ ¿Qué podemos decir de la imagen de $|z|=1$ a través del mapeo $f$ ? ¿Es un círculo? ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Es un hecho general que las transformaciones de Möbius llevan círculos generalizados a círculos generalizados. Por lo tanto, la imagen de $\{|z| = 1\}$ será un círculo o una línea en el plano; los detalles dependen de los valores particulares de $a, b, c$ .

Answer 2

Sí, la imagen es un círculo, ya que no contiene $\infty$ : $$f^{-1}(\infty) = \frac{-a}{b} \notin S^1.$$