Homeomorfismos lineales que mapean una base ortonormal en otra base ortonormal

Question

Considere $L^2(A)$ y $L^2(B)$ . Si $\{a_i\}$ es una base o.n de $L^2(A)$ cuántos homeomorfismos lineales $F:L^2(A) \to L^2(B)$ ¿existen tales que $Fa_i$ es una base ortonormal de $L^2(B)$ ?

¿Es esta una suposición muy restrictiva sobre los mapas, si quisiera discutir algo sobre el homeomorfismo entre los espacios?

Answer 1

Si arreglas uno de esos $F$ el resto se encuentra por composición con elementos del grupo unitario de $L^2(A)$ . El grupo unitario de un espacio de Hilbert (a veces llamado grupo de Hilbert, $\mathrm{Hilb}\,(L^2(A))$ ) es muy grande: contiene una copia de cada grupo compacto. Al mismo tiempo, es contraíble, por Teorema de Kuiper .

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