una función continua satisfacción de $f(f(f(x)))=-x$ otros de $f(x)=-x$

Question

Mi pregunta es acerca de la existencia de un no-trivial solución de la ecuación funcional $f(f(f(x)))=-x$ donde $f$ es una función continua definida en $\mathbb{R}$. Además, lo que sobre el general de una $f^n(x)=-x$ donde $f^n$ es entendido en el sentido de la composición de funciones y $n$ es impar. Finalmente, existe alguna teoría acerca de la continua de soluciones de $f^n(x)=g(x)$ donde $g$ es fijo de una función continua. Traté de investigación aquí, pero todo lo que encontré acerca de $f^2(x)=g(x)$, yo.e, "raíz cuadrada" en el sentido de la composición. Gracias.

EDITADO : yo estaba buscando no trivial de la solución con $n$ impar, lo siento por las molestias. Yo reformular mi pregunta. Gracias por el último cartel que mostró que la única continuo de solución a $f^n(x)=-x$ donde $n$ es impar es la trivial.

Answer 1

La única solución es $f(x)=-x$ para todos los impares $n$.

Tenemos $f(0)=0$ porque si $f(0)=a$,$f(f(a)))=0$$-a=f(f(f(a)))=f(0)=a$, lo $a=0$.

Desde $f^{2n}(x)=x$ todos los $x$, la función de $f$ ciclos de conjuntos de la mayoría de las $2n$ elementos $\{\pm a_1,\pm a_2,\ldots,\pm a_n\}$. Revisión de uno de estos ciclos, y suponer sin pérdida de generalidad que todas las $a_i$ son cero, y denotan por $a>0$ el menor número positivo en este ciclo. A continuación, $f((0,a))$ es un intervalo abierto con los extremos de $f(0)=0$$f(a)=b$. Suponga que $b\neq \pm a$. Desde $|b|>|a|$, el intervalo de $f((0,a))$ debe contener $a$ o $-a$, lo que significa que hay un $x, |x|<a$ tal que $f(x)=a$ o $f(x)=-a$, lo cual es una contradicción, porque $f$ es un bijection y $\pm a$ son las imágenes de algunos de los $a_i, |a_i|\geq a$. Por lo tanto se debe sostener que $|f(a)|=a$ todos los $a$, y, en consecuencia, $f(a)=-a$ todos los $a$.

Answer 2

Como Henry señala en los comentarios, al $n$ es extraño $f(x)=-x$ obviamente obras.

Al $n$ es aún, no hay tal función. Para ver esto, observe las siguientes propiedades debe poseer:

• $f$ es un bijection, y por lo tanto stricly monótona.
• $f(0)=0$. De hecho, si $f(0)=a$,$f^n(a) = f^{n+1}(0) = f(f^n(0)) = f(0) = a$, lo $a=0$ desde $0$ es el único punto fijo de $-x$.
• A partir de los dos anteriores propiedades, debemos tener la $f$ es el aumento, en cuyo caso $f(x)$ tiene el mismo signo de $x$ por cada $x$, o disminuyendo, en cuyo caso $f(x)$ tiene el signo opuesto como $x$ por cada $x$. De cualquier manera, $f^n(x)$ $x$ compartir el mismo signo, y por lo $f^n(x) \neq -x$.

Answer 3

He visto un ejemplo de una función continua a trozos $f$ satisfacción $f^2(x)=-x$. Se describen mejor con una foto, pero no sé cómo hacer que los que están en este foro. En su lugar, puedo describir para no negativo $x$, y, a continuación, le voy a pedir a usted para darle simetría impar.

EDIT: he hecho un lío de la leche de fórmula. Yo creo que esto es lo que yo quería. \begin{align} f(0) &= 0 \\ f(x) &= x+1 &&\mbox{for %#%#%}\\ f(x) &= 1-x &&\mbox{for %#%#%}\\ \end{align}

De nuevo, esto es para no negativo $x\in(2n-2,2n-1]$ solamente. Extender a la negativa $x\in(2n-1,2n]$ con simetría impar.

Sketch esta para $x$ y usted tendrá la idea. Suponiendo que no he fastidiado la fórmula, se obtiene una gráfica que me recuerda a la de los TIE fighters de Star Wars.

EDIT: he subido una imagen mucho más fácil de lo que pensaba.