Demuestre la siguiente afirmación con un contraejemplo: si $E$ es un espacio métrico compacto y $K$ es un subconjunto cerrado de $E$ entonces $K$ es compacto. demostración. Si tomamos una secuencia $x_n$ de elementos de $K$ ya que $E$ es compacto, debe haber una sub-sucesión de $x_n$ que es convergente. pero como $K$ está cerrada, esta subsecuencia debe converger a un elemento en $K$ . lo que demuestra que $K$ está cerrado. b) considerar $X$ un espacio métrico completo y $S \subseteq X$ . Demostrar que $S$ es completa si y sólo si $S$ está cerrado en $X$ . como se muestra considerando que $S$ es cerrado si y sólo si para cada secuencia de elementos de $S$ convergente a un punto $x \in X$ tenemos que $x \in S$ junto con el hecho de que toda secuencia convergente es Cauchy.
Respuesta
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En la parte b), puedes argumentar lo siguiente: Si $S$ es completa, entonces dado $x \in \overline{S}$ , $x = \lim x_n$ con $(x_n)$ en $S$ en particular por el hecho de que si $(x_n)$ es convergente, es Cauchy, entonces como $S$ está completo, $x_n$ converge a un elemento de $S$ por la unicidad del límite, ese elemento debe ser $x$ Así que $x$ está en $S$ . Por otro lado, supongamos que $S$ está cerrado el $X$ . Sea $(x_n)$ sea una secuencia de Cauchy en $S$ . Así que $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $X$ por lo que es convergente en $X$ , digamos que para un elemento $x$ pero como $x_n$ pertenece a $S$ para todos $n$ y $S$ está cerrado, por lo que $x \in S$ En resumen, toda secuencia de Cauchy en $S$ converge a un elemento de $S$ Así que $S$ está completo.
