Intuición para $\overline{z}$ no siendo diferenciable en el plano complejo

Question

Estoy tratando de intuir el significado de una derivada compleja. Cuando se habla de números reales, la función $f(x)=|x|$ no es diferenciable en $x=0$ ya que allí hay una "esquina aguda", es decir, los límites de la derecha y de la izquierda no son iguales, por lo que la función no es suave. La matemática es similar cuando se habla de números complejos: para $f(z)=\overline{z}$ para cualquier $z_{0}\in\mathbb{C}$ , que denota $z-z_0=re^{i\theta}$ vemos que $\frac{\overline{z-z_{0}}}{z-z_0}=e^{-i2\theta}$ puede tener cualquier valor en $[-1,1]$ no importa lo cerca que esté de $z_0$ nos acercamos. Sin embargo, para mí es algo poco intuitivo que $\overline{z}$ no se diferencia en nada en $\mathbb{C}$ . Específicamente:

1. El conjugado complejo es simplemente el número $z$ reflejado a través de la $x$ -eje. Lo que hace que este tipo de reflexión sea imposible de diferenciar, mientras que la reflexión similar $f(z)=-z$ es diferenciable en todas partes del plano complejo?
2. ¿Hay una "esquina aguda" en alguna esencia en la función $f(z)=\overline{z}$ similar a la de $f(x)=|z|$ en $\mathbb{R}$ ?
3. Separando la función a su acción sobre las partes real e imaginaria, vemos que $f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y)$ donde $u(x,y)=x$ y $v(x,y)=-y$ . Ambos $u$ y $v$ se sienten "suaves", ¿cómo es que $f$ ¿No es así?

Algunas explicaciones gráficas o intuitivas serán útiles. Gracias.

Answer 1

Si $f$ es diferenciable en $z_0$ entonces $f(z) \approx f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)$ . Cuando $f(0)=0$ que es el caso de $f(z)=\bar z$ obtenemos $f(z) \approx f'(0)z$ cerca de $0$ . Esto significa que, en primer lugar, $f$ es una rotación seguida de un escalamiento porque eso es lo que la multiplicación por el número complejo $f'(0)$ hace. Esto no puede ocurrir por $f(z)=\bar z$ porque en el eje real obtenemos una escala de $1$ pero en el eje imaginario obtenemos un escalado de $-1$ .

Todo esto está mucho mejor explicado en el maravilloso libro de Needham Análisis visual de complejos . Véase el capítulo 4: Diferenciación: El concepto Amplitwist.