Rango de la transformada de Radon

Question

Consideremos la transformada de Radon en dos dimensiones:

$$\tag{1}Rf(r,\theta):=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(r\cos\theta-t\sin\theta,r\sin\theta+t\cos\theta) dt,$$

donde $r\in\mathbb{R}$ y $0\leq\theta\leq \pi$ . Existe un teorema bien conocido sobre el alcance de la transformada.

Teorema . Una función $g(r,\theta)$ puede representarse como una transformada de Radon de alguna función $f(x,y)$ (es decir $g=R[f]$ ) si y sólo si para todos los enteros $n\geq0$ $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} r^ng(r,\theta) dr$$ es un polinomio homogéneo de $\cos\theta$ y $\sin\theta$ .

Obviamente, si $g(r,\theta)$ pertenece al rango de la transformada de Radon, entonces la transformada de Radon inversa de la función $g(r,\theta)$ es $f(x,y)$ .

Consideremos ahora una función que NO pertenecen al rango de la transformación.

PREGUNTA: Lo que obtendríamos si aplicamos la transformada de Radon inversa a una función no del rango de la transformada?

Por ejemplo, consideremos la función $g(r,\theta):= e^{-r^2}$ si $0\leq\theta\leq \pi/2$ y $g(r,\theta):= e^{-r^2(1-\cos\theta\sin\theta)}$ si $\pi/2\leq\theta\leq\pi$ . Esta función no pertenece al rango de la transformada de Radon. Entonces, por un lado, no hay ninguna función $f$ tal que $g=R[f]$ . Por otro lado, $g= R[ R^{-1}g ]$ .

¿Qué tiene de malo esta paradoja?

Gracias.

ACTUALIZACIÓN: Observemos que $R[R^{-1}g]$ se define correctamente, pero no es igual a $g$ .

De hecho, si $g=R[R^{-1}g]$ entonces

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} r^ng(r,\theta) dr = \int\limits_{-\infty}^{\infty} r^n R[R^{-1}g] (r,\theta) dr=$$

$$=\int\int r^n [R^{-1}g] (r\cos\thetat\sin\theta,r\sin\theta+t\cos\theta)drdt=$$

$$=\int\int (u\cos\theta+v\sin\theta)^n [R^{-1}g] (u,v)dudv,$$

que es un polinomio homogéneo de $\cos\theta$ y $\sin\theta$ (sólo hay que ampliar los paréntesis). Por otro lado, NO es un polinomio homogéneo (por supuesto). Por lo tanto $g\neq R[R^{-1}g]$ .

Answer 1

¿Probablemente se refiere a algún teorema de "Mathematics of Computerized Tomography" de Frank Natterer (por ejemplo, el teorema 4.2)? Entonces está asumiendo que el dominio en $\mathcal{S}$ y si no recuerdo mal, en ese libro esto denota el espacio de Schwartz de rápida descomposición $C^\infty$ -funciones. De ahí que la paradoja se resuelva con el hecho de que $R^{-1} g$ no es una función de Schwartz.