Encontrar de $\int e^x \cos(2x) dx$

Question

Hice lo siguiente.

Utilizando la regla LIATE:

$$\begin{align*} u &=& \cos(2x)\\ u\prime &=& -2 \sin(2x)\\ v &=& e^x\\ v\prime&=&e^x \end{align*}$$

Lo conseguimos:

$$\int e^x \cos(2x)dx = e^x \cos(2x) +2 \int e^x \sin(2x)dx $$

Ahora hacemos la segunda parte.

$$\begin{align*} u &=& \sin(2x)\\ u\prime &=& 2 \cos(2x)\\ v &=& e^x\\ v\prime&=&e^x \end{align*}$$

Lo conseguimos:

$$\int e^x \sin(2x)dx = e^x \sin(2x) -2 \int e^x \cos(2x)dx$$

Juntando todo esto obtenemos:

$\begin{align*} \int e^x \cos(2x)dx &=& e^x \cos(2x) +2 \int e^x \sin(2x)dx \\ &=&e^x \cos(2x) + 2[e^x \sin(2x) -2 \int e^x \cos(2x)dx]\\ &=&e^x \cos(2x) + 2e^x \sin(2x) -4 \int e^x \cos(2x)dx \end{align*}$

$\begin{align*} \int e^x \cos(2x)dx &=&e^x \cos(2x) + 2e^x \sin(2x) -4 \int e^x \cos(2x)dx\\ 5\int e^x \cos(2x)dx &=&e^x(\cos(2x) + 2 \sin(2x))\\ \int e^x \cos(2x)dx &=&\frac{e^x( \cos(2x) + 2 \sin(2x))}{5} \end{align*}$

No estoy seguro si esto es correcto, si es correcto, hay una mejor manera de hacer esto.

Answer 1

No es necesario preguntarse si es correcto. Se puede diferenciar para comprobarlo. Un pequeño problema: falta la constante de integración arbitraria,

Es bueno acostumbrarse al enfoque que has tomado, es útil para dominarlo. He aquí una alternativa. Mi opinión es que la respuesta será como $(A\cos 2x+B\sin 2x)e^x$ . Diferenciar. Obtenemos $$(A\cos 2x+B\sin 2x)e^x+(-2A\sin 2x+2B\cos 2x)e^x.$$ Esto coincidirá con nuestro integrando si $-2A+B=0$ y $2B+A=1$ . Resuelve. Obtenemos $A=\frac{1}{5}$ y $B=\frac{2}{5}$ . Así que nuestra respuesta es $(A\cos 2x+B\sin 2x)e^x+C$ con $A$ y $B$ como se acaba de calcular.

Answer 2

Sugerencia : Tome la derivada de ambos lados con respecto a $x$ para ver si lo has hecho todo bien.

Answer 3

Sabemos que $\cos(2x)$ es la parte real de $e^{2ix}$ Así que vamos a calcular $\int e^xe^{2ix}dx $ , entonces tomamos su parte real. Tenemos $$\int e^xe^{2ix}dx=\frac{1}{2i+1}e^{(2i+1)x}+C=\frac{e^x}{5}(1-2i)(\cos(2x)+i\sin(2x))+C\\=\frac{1}{5}(e^x\cos2x+2e^x\sin2x)+C+i(\text{imaginary part}).$$ Ahora, puedes concluir.