Problema de velocidad y aceleración

Question

1. Demuestra que si el producto punto de la velocidad y la aceleración de una partícula en movimiento es positivo (o negativo), entonces la velocidad de la partícula está aumentando (o disminuyendo).

2. Si en todo momento t los vectores posición y velocidad de una partícula en movimiento satisfacen $v(t)=r(t)$ y si $r(0)=r_0$ , encontrar $r(t)$ y la aceleración $a(t)$ . ¿Cuál es la trayectoria del movimiento?

¡Por favor, ayuda!

1. Propuesta de solución

$u(t)^2$ = v * v

Luego diferencio ambos lados y obtengo

$2u du/dt$ = av + va \=2 va

$u du/dt$ = va

Lo que OMI demuestra que cuando el producto punto es positivo también lo es la velocidad

Answer 1

Para la primera nota que: $${\bf v}. {\bf a}={\bf v}.{d{\bf v}\over dt}={d\over dt}({1\over 2}{\bf v}. {\bf v})={d\over dt}({1\over 2}\|v\|^2)$$ para el segundo: $${d{\bf r}\over dt}={\bf r} \quad \Rightarrow \quad {\bf r}(t)={\bf r}(0)\, e^t={\bf r}_0\, e^t \\ \Rightarrow {\bf v}(t)={\bf a}(t)={\bf r}_0\, e^t$$ Es fácil ver que la trayectoria del movimiento es una semilínea contiene $\bf r_0$ .