https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/botttu.pdf
Esta es una pregunta sobre la siguiente proposición del libro.
Proposición 10.6. Dejemos que $\Bbb R$ sea el presheaf constante en una variedad $M$ . Entonces la cohomología de Cech de $M$ con valores en $\Bbb R$ es isomorfo a la cohomología de Rham.
Prueba) Dado que las cubiertas buenas son cofinales en el conjunto de todas las cubiertas de $M$ (Corolario 5.2), sólo podemos utilizar cubiertas buenas en el límite directo $H^*(M,\Bbb R)=\lim_{\mathfrak{U}}H^*(\mathfrak{U},\Bbb R)$ . Por el teorema 8.9, $H^*(\mathfrak{U},\Bbb R) \cong H^*_{DR}(M)$ para cualquier cubierta buena de M. Además, se ve fácilmente que este isomorfismo es compatible con el refinamiento de las cubiertas buenas. Por tanto, existe un isomorfismo $H^*(M,\Bbb R) \cong H^*_{DR}(M)$ .
Cómo se ve fácilmente que el isomorfismo $H^*(\mathfrak{U},\Bbb R) \cong H^*_{DR}(M)$ es compatible con el perfeccionamiento de las buenas cubiertas?
Si $\mathfrak{U}, \mathfrak{V}$ son dos buenas tapas de $M$ con $\mathfrak{V}$ un refinamiento de $\mathfrak{U}$ entonces existe un mapa bien definido $H^*(\mathfrak{U},\Bbb R)\to H^*(\mathfrak{V},\Bbb R)$ definida más arriba en el lema 10.4.1. También la fórmula de un isomorfismo explícito $H^*(\mathfrak{U},\Bbb R) \cong H^*_{DR}(M)$ se da en la Proposición 9.8. Pero no veo por qué estos mapas deberían ser compatibles.
