Mostrar $R(x)=o(x^3)$

Question

Tengo $$R(x)=4! \, x^4 \int _0^{\infty} \frac{1}{(1+xt)^{5}}e^{-t} \, \, dt$$ ¿es esto correcto?

No tengo ni idea de qué hacer para la última parte de ii

Answer 1

Necesidad de mostrar $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{R(x)}{x^3}=4! \lim_{x \rightarrow 0} x \int_0^{\infty} \frac{e^{-t}}{(1+xt)^5}\, dt=0$$ por lo que tenemos que mostrar $$ A= \lim_{x \rightarrow 0} x \int_0^{\infty} \frac{e^{-t}}{(1+xt)^5}\, dt=0 $$ Entonces $$0 \le A \le x \int_0^{\infty} {e^{-t}} \, dt = x $$ así que $$0 \le A \le x$$ Entonces, como $$\lim_{x \rightarrow 0^+}0 =\lim_{x \rightarrow 0^+} x =0$$ entonces por la regla del apretón, $$\lim_{x \rightarrow 0^+} A=0$$