Número mínimo de los hemisferios abarca una esfera

Question

Aquí es una pregunta que parece fácil, pero parece tener muchas dificultades. Si le doy una arbitraria cubierta de la esfera por $N$ cerrado hemisferios. Usted puede escoger cualquiera de los hemisferios mantener. ¿Cuál es el número mínimo que se puede mantener mientras se cubre la esfera? Tenemos la sospecha de que la respuesta es $4$, pero parece que no podemos probarlo.

Answer 1

Sugerencia: Look up Helly del teorema.

EDIT: yo debería haber sido más específico, ya que Helly había más de un teorema. El que yo estoy hablando es de la que se encuentra en http://en.wikipedia.org/wiki/Helly%27s_theorem Si su cerrado hemisferios se $H_1, \ldots, H_n$ (en la esfera de la $S$), deje $X_i$ ser el casco convexo de $S \backslash H_i$. Si no $4$ de sus hemisferios cubrir la totalidad de la esfera, que dice que todos los $4$ de la $X_i$ tienen intersección no vacía, y luego (desde estamos en ${\mathbb R}^3$) Helly dice la intersección de todos los $X_i$ es no vacío, y que implica que $H_i$ no cubren la totalidad de la esfera.