¿Función compleja doblemente periódica en dos variables?

Question

Estoy buscando una función $f:\mathbb C^2 \rightarrow \mathbb C^2$ que satisface las dos ecuaciones

$$\partial_{z_2}f_1(z_1,z_2) + \partial_{z_1} f_2(z_1,z_2)=0 \text{ and }$$ $$\partial_{\bar z_1}f_1(z_1,z_2) - \partial_{\bar z_2} f_2(z_1,z_2)=0$$

y además, es doblemente periódica en sus dos variables complejas $z_1,z_2$ . ¿Existe esa función y, si no, por qué? Ni siquiera sé cómo empezar a crear una función de este tipo.

En particular, me gustaría tener

$$f_1(z_1+1,z_2)=f_1(z_1,z_2+1)=f_1(z_1,z_2)$$ y

$$f_1(z_1+i,z_2) = e^{2\pi i k_1}f_1(z_1,z_2)$$ y

$$f_1(z_1,z_2+i) = e^{2\pi i k_2}f_1(z_1,z_2)$$

para algunos fijos $k_1,k_2 \in \mathbb R.$ Por favor, hágame saber si tiene alguna pregunta. Tenía algunas erratas, pero espero que todo sea coherente ahora.