$l^p$ espacio que no tiene producto interior

Question

Sé que $l^2$ es un espacio de Hilbert. Pero para otros $l^p$ espacios, donde $p\geq1$ Tengo que demostrar que no satisfacen la igualdad del paralelogramo.

Pero, no puedo encontrar secuencias apropiadas que se conviertan en contraejemplos de la igualdad del paralelogramo. ¿Podría alguien sugerirme algunas secuencias?

Answer 1

Considere $\mathbf{x} = (1,0,0,0,\ldots)$ et $\mathbf{y} = (0,1,0,0,\ldots)$ .

Entonces $\mathbf{x+y} = (1,1,0,0,\ldots)$ et $\mathbf{x-y} = (1,-1,0,0,\ldots)$ .

$$\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|_p^2 + \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|_p^2 = 2\times(1+1)^\frac{2}{p} = 2^{1+\frac{2}{p}}$$

Mientras tanto, $$2(\|\mathbf{x}\|_p^2+\|\mathbf{y}\|_p^2) = 2\times(1+1) = 4$$

Si se cumple la ley del paralelogramo, entonces $$2^{1+\frac{2}{p}} = 4 \implies 1+\frac{2}{p} = 2 \implies p = 2$$