¿Algo implícito en la derivación direccional?

Question

Mientras derivaba la fórmula para la derivada direccional, me encontré con un paso que parece algo extraño. Sólo quiero hacer notar, que no tengo ningún problema con el concepto y me doy cuenta de que en una dirección determinada, las coordenadas ya no son independientes y por lo tanto podemos expresar una función de 2 variables por una sola variable siempre que estemos en la línea, y así obtenemos una función de una sola variable y diferenciamos para obtener la derivada direccional. Pero estoy usando la suposición más general de que en cualquier dirección, el cambio se puede aproximar utilizando el diferencial total.

Mientras derivaba la fórmula de la derivada direccional, me encontré con un paso que parece algo extraño. Sólo quiero hacer notar, que no tengo ningún problema con el concepto y me doy cuenta de que en una dirección determinada, las coordenadas ya no son independientes y por lo tanto podemos expresar una función de 2 variables por una sola variable siempre que estemos en la línea, y así obtenemos una función de una sola variable y diferenciamos para obtener la derivada direccional. Pero estoy usando la suposición más general de que en cualquier dirección, el cambio se puede aproximar utilizando el diferencial total.

Por lo tanto, considere una dirección arbitraria S ;

$\Delta Q_{1\Rightarrow2} = \frac{\partial Q}{\partial X} \Delta X_{1\Rightarrow2} + \frac{\partial Q}{\partial Y} \Delta Y_{1\Rightarrow2}$

& en la línea S (S es una coordenada de esta línea), X & Y no son independientes, y si se conoce la línea, el ángulo $\theta$ es conocido.

Así,

$\Delta X_{1\Rightarrow2} = \Delta S_{1\Rightarrow2} \cos \theta$ & $\Delta Y_{1\Rightarrow2} = \Delta S_{1\Rightarrow2} \sin \theta$

Por lo tanto,

$\frac{\Delta Q_{1\Rightarrow2}}{\Delta S_{1\Rightarrow2}} = \frac{\frac{\partial Q}{\partial X} \Delta X_{1\Rightarrow2} + \frac{\partial Q}{\partial Y} \Delta Y_{1\Rightarrow2}} {\Delta S_{1\Rightarrow2}} = \frac{ \frac{\partial Q}{\partial X} \Delta S_{1\Rightarrow2} \cos \theta + \frac{\partial Q}{\partial Y} \Delta S_{1\Rightarrow2} \sin \theta}{\Delta S_{1\Rightarrow2}}$

Así que, ahora, el $\frac{\Delta Q_{1\Rightarrow2}}{\Delta S_{1\Rightarrow2}}$ se convierte en "instantáneo" que es; $\frac{\Delta Q_{1\Rightarrow2}}{\Delta S_{1\Rightarrow2}} = \frac{\partial Q}{\partial X} \cos \theta + \frac{\partial Q}{\partial Y} \sin \theta = \frac{dQ}{dS}$

Así que, en el paso final, parece que no Aproximadamente o tomar un límite para obtener una relación instantánea, simplemente "salió". Creo que tiene algo que ver con que el cos y el sin theta sean cocientes, o con la propiedad de que si $\Delta X = \Delta S \cos \theta$ entonces eso implica que $X = S \cos \theta$ (que el cambio/delta sea "instantáneo"). Pero no consigo entenderlo correctamente.

Answer 1

No estoy seguro de qué es lo que estás entendiendo por Q, pero creo que tu confusión proviene de la falta de límites. $\frac{\Delta Q_{1\Rightarrow2}}{\Delta S_{1\Rightarrow2}}$ es una derivada, si sólo se toma el límite: $\lim \limits_{\Delta S_{1\Rightarrow2} \to 0} \frac{\Delta Q_{1\Rightarrow2}}{\Delta S_{1\Rightarrow2}}$ . Mantén esta notación en todo momento y empezará a parecerse mucho a los problemas de definición de la derivada que has pasado en el cálculo 1: la $\Delta S_{1\Rightarrow2}$ que se acerque a 0 se cancelará y te quedará una expresión independiente de ese término por completo, lo que te permitirá calcular un resultado real.