¡Esta es probablemente una pregunta bastante básica, pero no puedo averiguar si se trata de una trivialidad (o tal vez sólo una tontería...) ! Digamos que uno tiene un grupo de Lie $G$ actuando sobre alguna colecta suave $P$ con una acción libre, transitiva y propiamente discontinua. Por tanto, el mapa cociente $p:M \to M/G$ en el espacio orbital es un recubrimiento normal, que por tanto define un haz de fibras principal $M(M/G, G)$ con grupo de estructura $G = \pi_1(M/G)/p_*(\pi_1(M))$ . Ahora, podemos levantar cada curva en $M/G$ a una curva $\tilde{\gamma}$ en $M$ a través del mapa de cobertura $p$ . Mi pregunta es ahora la siguiente: ¿se puede ver la curva levantada como la elevación horizontal de la curva con respecto a alguna conexión en el haz? Y si es así, ¿cuál sería la conexión correspondiente $1$ -forma sea?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Probablemente no quisiste decir transitivo o bien $M/G$ es un punto. De todos modos, para que esta acción sea propiamente discontinua $G$ tendrá que ser un grupo discreto. Por lo tanto, el subespacio vertical del haz principal en cada punto es $0$ . Por lo tanto, sólo hay una conexión posible para elegir aquí (el subespacio horizontal es todo; la conexión $1$ -forma es idéntica $0$ ). Y entonces tienes razón en que las elevaciones horizontales son sólo elevaciones, ya que cualquier curva es horizontal.
