Teorema de convergencia dominante y convergencia uniforme

Question

Intento resolver la siguiente tarea:

Dejemos que $(\Omega,\mathfrak{A},\mu)$ sea un espacio medible y $\mu(\Omega)<\infty$ . Sea $(f_n)_{n\geq1}$ sea una secuencia de funciones medibles integrables $f_n:\Omega \rightarrow [-\infty,\infty]$ que convergen uniformemente en $\Omega$ a una función $f$ . Demostrar que $$\int f d\mu = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int f_n d\mu$$ .

Lo que pensaba: convergencia uniforme de $f_n \rightarrow f$ significa que $f$ es continua y, por tanto, medible. Ahora pensé que podía utilizar el teorema de convergencia dominante para demostrar la igualdad.

La convergencia uniforme significa $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup \{|f_n-f(x)|:x\in \Omega\}=0$ así que creo que puedo definir una función $s(x):=\sup \{|f_n-f(x)|:x\in \Omega\}=0$ que domina todos los $f_n$ y aplicar el teorema. Pero no estoy seguro, si esta es la forma correcta.

Answer 1

Fijar un $\varepsilon > 0$ por convergencia uniforme, sabemos que existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para $n \geq N$ , \begin{equation*} |f_n| = |f_n - f + f| \leq |f_n - f| + |f| < |f| + \varepsilon \end{equation*} A continuación, defina la función $g : \Omega \to \mathbb{R}$ por $g(\omega) = |f(\omega)| + \varepsilon$ . Entonces $g$ es integrable, ya que trabajamos en un espacio de medidas finito. Si se tratara de un espacio de medida infinita, el $"+ \varepsilon"$ parte daría algunas dificultades. A continuación, defina $h_n = f_{N + n}$ con $\lim\limits_{n \to \infty} h_n = f$ para lo cual se sostiene que $|h_n| \leq g$ . Entonces, se satisfacen todas las condiciones del teorema de convergencia dominada, por lo que podemos concluir \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \int_\Omega h_n \mathrm{d}\mu= \int_\Omega f \mathrm{d}\mu \tag{$\ast$} \end{equation*} Por último, observe que la diferencia entre $\{f_n\}$ y $\{ h_n \}$ es sólo un desplazamiento en los índices, por lo que se deduce inmediatamente de ( $\ast$ ) que \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n \mathrm{d}\mu = \lim_{n \to \infty} \int_\Omega h_n \mathrm{d}\mu= \int_\Omega f \mathrm{d}\mu \end{equation*}

Answer 2

La convergencia uniforme y la mensurabilidad de fn implican que f es medible. Entonces |f| es medible. Afirmamos que f es integrable. En efecto, por convergencia uniforme, ∃ N s.t ∫|f| ≤ ∫ (|f - fn| + |fn|) ≤ ∫|f - fn| + ∫|fn| < ∞ para todo n≥N, por lo que f es integrable. Entonces, por un argumento similar, ∫f - ∫fn = ∫ (f - fn) ≤ ∫|f - fn| ≤ ε-μ(Ω). Por tanto, la igualdad se deduce.