Encontrar la probabilidad de que dos variables aleatorias discretas sean iguales

Question

Estoy tratando de encontrar $P[X=Y]$ para dos variables aleatorias e independientes, que tienen funciones de distribución de probabilidad:
$f(x) = (1/10)(9/10)^x$ para $X = 0, 1, 2,... $
$f(y) = (1/5)(4/5)^y$ para $Y = 0, 1, 2,...$

Como X e Y son independientes, su función de densidad conjunta es $f(x) \times f(y)$ .
¿Es correcto sumar sobre el producto de las funciones individuales de X e Y, estableciendo $x=y$ ?

Answer 1

La idea principal es notar que: $\Pr[X=Y]=\Pr[\bigcup_{i} (X=i \land Y=i)] =\sum_{i} \Pr[X=i \land Y=i]$ y utilizar la definición de independencia.