calcular la ecuación del polinomio a partir de las raíces

Question

Quiero derivar una ecuación polinómica a partir de las siguientes raíces: $$\left\{-1,1+\sqrt5,1-\sqrt5\right\}$$ A continuación, mi intento.

\begin{align}f(x)&=(x+1)( (x-1) - \sqrt5 ) ( (x-1) + \sqrt5 )\\ &=(x+1)( (x-1)^2 - 5)\\ &=(x+1)(x^2 - 2x - 4)\end{align}

Y la respuesta en el libro es $(x+1)(x^2 + 2x -4)$ . No estoy seguro de lo que es correcto.

Estoy cursando una correspondencia de Matemáticas. El libro tiene muy poca explicación y pocos errores. Mi corazonada es que, la respuesta es incorrecta. Por favor, aconsejadme.

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La primera raíz es $-1$ en lugar de $1$ . Perdón por el error tipográfico.

Answer 1

Cuando tenemos las raíces $\{a,b,c\}$ podemos escribir $$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$$ Tenemos las raíces $\{-1,1+\sqrt 5,1−\sqrt5\}$ por lo que podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

\begin{align}f(x)&=(x-(-1))(x-(1+\sqrt5))(x-(1-\sqrt5))\\ &=(x+1)(x-1-\sqrt5)(x-1+\sqrt5)\\ &=(x+1)(x^2-x+x\sqrt5-x+1-\sqrt5-x\sqrt5+\sqrt5-5)\\ &=(x+1)(x^2-(1-\sqrt5+1+\sqrt5)x+(1+-\sqrt5+\sqrt5-5))\\ &=(x+1)(x^2-2x-4)\\ &=x^3-2x^2-4x+x^2-2x-4\\ &=x^3-x^2-6x-4\end{align}

Podemos comprobarlo con WolframAlpha(x-(1-%5Csqrt5))+%3Dx%5E3-x%5E2-6x-4) y ver que es correcto