Función continua con derivada superior dini mayor que 0 implica que la función es creciente

Question

Dejemos que $f$ sea continua en $[a,b]$ con $\bar D f \geq 0$ (derivada superior de Dini de $f$ ) en $(a,b)$ . Demostrar que $f$ está aumentando en $[a,b]$ . Pista: Demuestre que esto es cierto para $g$ con $\bar D g \geq \epsilon > 0$ en $[a,b]$ . Aplique esto a la función $g(x) = f(x) + \epsilon x$ .

Esta es la pregunta 19 del capítulo 6.2 de Royden-Fitzpatrick Analysis 4th edition.

Mi enfoque es el siguiente

1. $g$ es continua ya que es la combinación lineal de 2 funciones continuas.
2. $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ lo que significa $g$ es estrictamente creciente en $(a,b)$ .
3. $f = g - \epsilon x$ y $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ implica $f$ es creciente (no es decreciente) en $(a,b)$ .

¿Tiene sentido? Gracias por cualquier ayuda. La pregunta también está relacionada con Función continua en $[a, b]$ con derivadas superiores e inferiores acotadas en $(a, b)$ es Lipschitz.

Answer 1

¿Cómo sabes que $2$ ¿Retiene? De hecho, esta es la esencia de la prueba, a menos que esté malinterpretando tu pregunta, tienes que hacer un poco de trabajo. (¡Un dibujo te ayudará!) Supongamos primero que $\bar D f >0$ en $(a,b)$ . Si hay $a<c<d<b$ tal que $f(c)>f(d)$ entonces podemos elegir $f(c)>\mu>f(d)$ . Sea $S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ y considerar $\xi=\sup S.$ Tenga en cuenta que $c<\xi<d$ . Tome una secuencia creciente $(t_n)\subseteq (c,d)$ tal que $t_n\to \xi.$ Entonces, $f(t_n)\to f(\xi)$ . Si $f(\xi)\neq \mu$ entonces hay un $\mu<\alpha<f(\xi)$ . Continuidad de $f$ implica ahora que hay un intervalo $I=(\xi,\xi+\delta)$ tal que $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$ . Pero esto contradice la definición de $\xi.$ Así, $f(\xi)= \mu.$

Hemos demostrado que para cada $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$ y concluimos que $ D^+ f(\xi)\le 0$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, la afirmación es verdadera para la desigualdad estricta y $now$ definimos $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$ . De ello se desprende que $\bar D g_{\epsilon} >0$ en $(a,b)$ así que $g_{\epsilon}$ es no decreciente allí, y como $\epsilon$ es arbitraria, $f$ también es no decreciente.