acotado $\implies$ ¿integrable?

Question

Tengo que demostrar lo siguiente:

"Si $f$ es de variación acotada en $[a,b],$ puis $f$ es integrable en $[a,b].$ "

Y ya lo he demostrado:

"Si $f$ es de variación acotada en $[a,b],$ puis $f$ está acotado en $[a,b].$ "

Mi pregunta

Puedo fusionar las dos afirmaciones y decir, w.l.o.g: "Si $f$ está acotado en $[a,b],$ puis $f$ es integrable en $[a,b].$ "

De este modo, podría utilizar el siguiente teorema para demostrar la primera afirmación:

"Si $f$ está acotado en $[a,b],$ puis $f$ es integrable en $[a,b]$ $\iff$ $\forall\varepsilon>0,$ existe una partición $P$ de $[a,b]$ tal que: $$S(P) -s(P) < \varepsilon$$

donde $S(P)$ es la suma superior de la partición $P$ y $s(P)$ es la suma inferior.

ACTUALIZACIÓN Este es el teorema:

Answer 1

Por "integrable" parece que quieres decir "integrable de Riemann", es decir, que utilizas particiones de un intervalo y sumas superiores e inferiores. En ese sentido de integrabilidad, no todas las funciones acotadas son integrables. Por ejemplo, dejemos que $$ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if $x$ is rational,} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} $$ Está acotado y no es integrable por Riemann. Y no tiene variación acotada en ningún intervalo. Esto demuestra que tener una variación acotada es una condición mucho más fuerte que simplemente estar acotado. Y que el mero hecho de estar acotado no es ni mucho menos suficiente para tu propósito.

Answer 2

La limitación no implica la integrabilidad. Tomemos la función de Dirichlet, que es 1 si $x \in \mathbb{Q}$ y 0 en caso contrario. Esto está acotado pero no es integrable. edit: Una forma más fácil de demostrar la integrabilidad de la variación acotada es demostrar que es una diferencia de dos funciones monótonas. Dado que las funciones monótonas son integrables, el resultado se demostraría entonces