Representantes del doble coset y Magma

Question

Estoy tratando de usar Magma para hacer un cálculo de doble coset en el grupo M10, pero la respuesta no tiene sentido para mí. Su ayuda y comentarios son muy apreciados. En primer lugar, aquí está el cálculo:

(1) M10 tiene una clase de conjugación de subgrupos de orden 72; elige una y llámala T. También hay una clase de subgrupos de orden 2; elige una y llámala S.

(2) Denote por $\tau_i$ los representantes de la descomposición del doble coset $M10 = (T \tau_1 S) \coprod (T \tau_2 S) \coprod$ ...

(3) Para cada i: Calcular el índice $[ S^\tau_i: T \cap S^\tau_i ]$ donde $S^t$ denota el conjugado de S por t.

Se sabe que el conjunto (no ordenado) de estos índices es independiente de la elección de las tau's. Sin embargo, cuando he intentado hacer esto en Magma, obtengo respuestas diferentes si ejecuto el mismo código varias veces. He ejecutado mi código utilizando grupos más pequeños y he obtenido la respuesta correcta. Soy nuevo en Magma, así que quizás he cometido errores de sintaxis, pero estoy totalmente confundido. He enviado mi código corto; su ayuda y comentarios son muy apreciados. GRACIAS

\=== código magma ===

G := SmallGroup(720,765);
S72  := Subgroups(G: OrderEqual:=72);
printf "There are %o class of index 10 subgroups\n",  #S72;
T   := S72[1]`subgroup;

S2  := Subgroups(G: OrderEqual:=2);
printf "There are %o class of order 2 subgroups\n",  #S2;
S  := S2[1]`subgroup;
printf "Here is the actual order 2 subgroup: %o\n", S;

printf ("Double coset representatives of the order 72 by order 2:  \n");
D2, D2size := DoubleCosetRepresentatives(G, T, S);
D2;

for i := 1 to #D2 do
  dtau := S^D2[i];
  printf "i=%o: %o\n", i, #dtau / #(T meet dtau);
end for;

Answer 1

El problema de los resultados incoherentes en la parte final de su cálculo no se debe sólo a las diferentes elecciones de elementos aleatorios, como dije en mi comentario, sino probablemente a una confusión sobre el significado de $S^t$ que se define como $t^{-1}St$ en Magma.

Piensa en el grupo $S$ como actuando por multiplicación por la derecha en los cosets $Tt$ de $Tt$ de $T$ . Entonces el estabilizador de $Tt$ es $S \cap t^{-1}Tt$ y, por tanto, la longitud de la órbita de $S$ que es lo que se intenta calcular, es $|S:S \cap t^{-1}Tt|$ que se puede calcular como $|S|/|S \cap T^t|$ en Magma o, si lo prefiere, $|S^{t^{-1}}|/|S^{t^{-1}} \cap T|$ .

Así que podría corregir su código sustituyendo

dtau := S^D2[i]; 

por

dtau := S^(D2[i]^-1);

Lo intenté, y obtuve resultados consistentes $1,1,2,2,2,2$ (no necesariamente en ese orden) para los índices