Si $a+b$ es par, entonces $24|ab(a^2-b^2)$

Question

Si $a+b$ es par, entonces $24|ab(a^2-b^2)$ .

Desde $a+b$ es par, entonces $a+b=2n$ para algún número entero $n$ . Esto también implica que ambos $a$ y $b$ son pares o Impares. Así que hay dos casos a considerar.

Caso $1$ : Ambos $a$ y $b$ son pares, entonces $a=2p$ y $b=2q$ para los enteros $p$ y $q$ . También $24=2^33$ . Así que $$ab(a^2-b^2)=2^32q(p-1q)(p-0q)(p+1q).$$

Si $(p-1q)(p-0q)(p+1q)$ es divisible por $3$ , entonces el caso $1$ está hecho. Sé que uno de los tres enteros consecutivos es siempre divisible por $3$ y lo que he encontrado con este problema es lo mismo, pero donde el aspecto consecutivo fue sustituido por el desplazamiento de cada $p$ término $q$ unidades. Estoy tratando de ver cómo incorporar esto y saber con certeza que estoy en lo correcto y luego hacer esto para el caso $2$ donde ambos $a$ y $b$ son impar.

También estoy seguro de que hay una manera más fácil de hacer este problema porque lo que estoy haciendo no se parece a nada de lo que aparece en el libro de texto que estoy usando, de donde salió el problema. Cualquier sugerencia o solución será muy apreciada. Siento que estoy usando un tanque para matar una cucaracha.

Answer 1

Una pista: Debe demostrar que $ab(a^2-b^2)$ es divisible por $3$ y por $8$ . Ahora considera esto:

• $ab(a^2-b^2)=a^3b-ab^3 \equiv ab-ab \bmod 3$ por Fermat.

• $(2n+1)^2=8\binom{n+1}{2}+1$

• $(2n)^3 = 8 n^3$