trayectorias cerradas homotópicas en el grupo topológico

Question

Un grupo topológico $G$ es un grupo que también es un espacio topológico en el que los mapas $u:G×G G$ $v:GG$ definido por $u(g_1, g_2)=g_1g_2$ y $v(g)=g^{-1}$ son continuos. Sean f,h caminos cerrados en G con base en el elemento de identidad e de G. Definamos $f.h$ por $(f.h)(t) = u(f(t),h(t))$ para todos $t\in I$ . Demostrar que $f*h$ ~ $f.h$ ~ $h*f$ y deducimos que el grupo fundamental $\pi(G,e)$ es abeliana.

Tenga en cuenta la notación $f*h$ ~ $f.h$ significa $f*h$ es la equivalencia a $f.h$ Es decir $f*h$ y $f.h$ son homotópicas respecto a $\{0,1\}$ .

Este ejercicio se propone en el capítulo 15 de "A first course in Algebraic Topology" de Kosniowski. Estoy teniendo problemas para resolverlo y ¡cualquier ayuda se agradecería!

Answer 1

Dejemos que $c_e$ sea el bucle constante basado en $e$ . Entonces $f\cdot h \sim (f * c_e)\cdot(c_e * h) = f * h$ y $f\cdot h \sim (c_e * f)\cdot (h * c_e) = h * f$ .