Espacio de secciones de un haz de fibras con espacio base no compacto

Question

Dejemos que $\pi: E \rightarrow M$ sea un haz de fibras sobre la colmena M y denotemos por $\Gamma(E)$ el espacio de las secciones lisas de $E$ .

Para los compactos $M$ es bien sabido (Hamilton 1982, Parte II Corolario 1.3.9), que $\Gamma(E)$ (si no está vacía) es una variedad de Fréchet (domesticada) con respecto a la topología de convergencia uniforme de todas las derivadas en los compactos. Por ejemplo, la topología viene dada por las seminormas (mostradas aquí para los haces vectoriales): $$p_{i, K} (\phi) = \sum_{j=1}^i \text{sup}_{x \in K} |\phi^{(j)}(x)|.$$ Cuando la sección $\phi$ se identifica con su representante local $\phi: U \subset R^n \rightarrow R^m$ y los conjuntos compactos $K$ forman un agotamiento de $U$ . Como para una variedad paracompacta existe un atlas contable, este procedimiento da lugar a un número contable de seminormas. Así, $\Gamma(E)$ es una variedad de Fréchet. (Para el caso general de un haz de fibras hay que invocar el teorema de la vecindad tubular).

Ahora me interesa el caso del colector de base no compacto $M$ . Para ser honesto, no veo por qué la construcción anterior falla entonces.

Apoyando este punto de vista, en la sección 2.2. de [1] los autores construyen, siguiendo las líneas anteriores, una topología para los no compactos $M$ . Pero por otro lado en [2] el grupo gauge $\text{Gau}(P)$ (que es el grupo de secciones del haz asociado $P \times_G G$ al haz principal $P \rightarrow M$ ) se describe sólo como un límite inductivo estricto de muchos espacios de Fréchet contables y sólo para espacios compactos $M$ se tiene la estructura de Fréchet más simple en $\text{Gau}(P)$ .

¿Dónde está el error? Gracias.

[1] Cap, A. & Slovak, J. On multilinear operators commuting with Lie derivatives, eprint arXiv:dg-ga/9409005, 1994

[2] Suavidad de la acción del grupo de transformación gauge sobre las conexiones M. C. Abbati, R. Cirelli, A. Mania y P. Michor, J. Math. Phys. 27, 2469 (1986), DOI:10.1063/1.527404

Answer 1

Su definición depende de la elección del agotamiento y de la elección de la métrica en $E$ . Para obtener una teoría significativa hay que añadir muchos más supuestos (como: una métrica riemanniana de geometría acotada sobre $M$ donde los conjuntos abiertos son bolas geodésicas...). Por ejemplo, si se quiere que el grupo de difeomorfismo de $M$ actúan suavemente en el espacio localmente convexo de las funciones que está definiendo. Sólo hay que tener en cuenta cuántos espacios de funciones diferentes en $\mathbb R^n$ son útiles.

Ver:

MR2343536 Eichhorn, Jürgen Análisis global en variedades abiertas. Nova Science Publishers, Inc., Nueva York, 2007. x+644 pp.

para un cuidadoso desarrollo de los espacios de Sobolev en variedades riemannianas no compactas y de los haces vectoriales sobre ellas.

EDIT: Podrías revisar alrededor de 10.10 en (esto utiliza una versión torpe de cálculo en espacios localmente convexos):

Peter W. Michor: Manifolds of differentiable mappings. Shiva Mathematics Series 3, Shiva Publ., Orpington, (1980), iv+158 pp., MR 83g:58009 (pdf escaneado)

O puede consultar el capítulo IX de:

Andreas Kriegl, Peter W. Michor: The Convenient Setting of Global Analysis. Mathematical Surveys and Monographs, Volumen: 53, American Mathematical Society, Providence, 1997. (pdf)

Ambas referencias modelan sobre espacios de funciones de prueba (opción 1 en la respuesta de Andrew Stacey más abajo). Hay otras opciones, pero son cada vez más complicadas. Véase, por ejemplo, el siguiente artículo que analiza el grupo de difeomorfismos sobre $\mathcal R^n$ que caen rápidamente hacia la identidad, o caen como $H^\infty$ (intersección de todos los espacios de Sobolev).

Peter W. Michor y David Mumford: Un zoológico de grupos de difeomorfismo en $\mathbb ℝ^n$ . arXiv:1211.5704. (pdf)

Answer 2

Sus barrios ya no tienen una buena estructura.

Para una base no compacta hay que tomar un límite sobre subespacios compactos. Así que cuando se consideran dos secciones, digamos $f$ y $g$ entonces decir que están "cerca" es decir que hay una vecindad de $f$ que contiene $g$ . Esta vecindad dice "Hay un subconjunto compacto, digamos $K$ de $M$ y una orden, digamos $n$ , de manera que las derivadas de $f$ y $g$ están cerca en $K$ por encargo $n$ ."

Esto no dice absolutamente nada sobre lo que ocurre fuera $K$ . Y esto es un gran problema porque si quieres poner la estructura de un colector en $\Gamma(E)$ entonces para $f$ y $g$ lo suficientemente cerca como para poder decir lo que $f + g$ es. En $K$ entonces no hay problema porque se hace todo lo suficientemente pequeño como para poder utilizar la estructura de colectores de $E$ para añadir $f$ y $g$ de la fibra. Pero para extender esto a $x$ en el exterior $K$ debe ser capaz de añadir $f(x)$ y $g(x)$ donde estos pueden tomar cualquier en la fibra en $x$ que equivale a una estructura de adición global fibrosa en $E$ y en un paquete de fibra general no tienes eso.

Ahora bien, podrías buscar una fuente diferente para tu estructura local de aditivos, pero te encontrarías con el mismo tipo de problema.

Tienes dos opciones si quieres trabajar con $\Gamma(E)$ como un objeto liso:

1. Cambia tu topología. Puede dividir $\Gamma(E)$ en trozos donde $f$ y $g$ están en la misma pieza si coinciden fuera de algún subconjunto compacto. Esto entonces puede convertirse en un colector pero tiene incontables componentes.

2. Cambia de categoría. El espacio $\Gamma(E)$ es una persona que se comporta perfectamente bien espacio liso generalizado y puede ser tratado muy bien en una de las muchas categorías de los mismos. Simplemente no es un colector.

Answer 3

Además de las referencias anteriores, puede interesarle echar un vistazo a este documento:

P. Piccione y D. V. Tausk, "Sobre la estructura diferencial de Banach para conjuntos de mapas en dominios no compactos". Nonlinear Anal. 46 (2001), no. 2, Ser. A: Theory Methods, 245-265,

donde estudian cómo introducir una estructura de Banach en conjuntos de mapas entre un espacio topológico posiblemente no compacto como dominio y una variedad suave como objetivo. Por supuesto, la regularidad que se discute aquí es menor que $C^\infty$ , dándole una estructura de Banach en lugar de Frechet. Esto tiene ventajas y desventajas obvias; pero independientemente de las diferencias es posible que merezca la pena mirar, dado que los problemas de no compacidad del dominio se tratan con éxito. Ni que decir tiene que, una vez que se tiene la estructura deseada en el conjunto de mapas, restringirse al caso particular de las secciones de un haz es sencillo.