Cuál es el valor máximo $m$ tal que un conjunto desordenado de $n + m$ vectores abarca $\mathbb{F}^n_2$ cuando cualquier $m$ ¿se excluyen los vectores?
Además, ¿existe un método eficiente para generar dicha secuencia para un determinado $m$ (suponiendo que exista al menos un valor de $n$ donde $m > 1$ (véase la expansión trivial más abajo)?
Mediante una búsqueda exhaustiva aquí está el único ejemplo de $m = 1$ para $\mathbb{F}^2_2$ : $$v_1 = (1, 0)$$ $$v_2 = (0, 1)$$ $$v_3 = (1, 1)$$
Este es un ejemplo de $m = 1$ para $\mathbb{F}^3_2$ : $$v_1 = (1, 0, 0)$$ $$v_2 = (0, 1, 0)$$ $$v_3 = (0, 0, 1)$$ $$v_4 = (1, 1, 1)$$
No soy capaz de encontrar un $m > 1$ para $n = 3$ tampoco soy capaz de encontrar otro ejemplo de $m = 1$ . Pero $m = 1$ puede ampliarse trivialmente a cualquier $n$ siguiendo el patrón de $n$ filas de la matriz de identidad $I_n$ seguido de un vector de todos los $1$ 's. Así que $ \forall n : m \geq 1$ . Además, sólo hay $2^n$ vectores en $\mathbb{F}^n_2$ y uno de ellos es el vector cero, por lo que $n + m < 2^n$ . Pero esos son unos límites bastante flojos.
Aquí está casi un ejemplo de $m = 2$ para $\mathbb{F}^3_2$ . Pero $\{v_1, v_2, v_4\}$ no abarca $\mathbb{F}^3_2$ ; tampoco lo hace $\{v_1, v_3, v_5\}$ . Pero creo que el otro $((n + m) \text{ choose } n) - 2 = 8$ las combinaciones lineales abarcan $\mathbb{F}^3_2$ : $$v_1 = (1, 1, 1)$$ $$v_2 = (0, 1, 1)$$ $$v_3 = (0, 0, 1)$$ $$v_4 = (1, 0, 0)$$ $$v_5 = (1, 1, 0)$$
Parece que $\forall{k} : \sum{v_{i}(k)} \geq m + 1$ o si no, puedes sacar el $m$ vectores que tienen $1$ en su $k^\text{th}$ punto y entonces no se podrían hacer combinaciones lineales de los $k^\text{th}$ dimensión. Pero me está costando mucho convertir eso en un límite para $m$ .
