La secuencia: $0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots$ El libro da la respuesta de $\frac{x^3}{1-x}$ pero no estoy seguro de cómo obtener esta respuesta. Entiendo que la función generadora de esta secuencia será $0 + 0x + 0x^2 + 1x^3 + 1x^4+1x^5 + 1x^6 + \ldots$ Pero no estoy seguro de cómo poner esto en la forma cerrada.
Respuestas
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Es sólo un cambio de índice.
Desde
$${1\over 1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$
está generando para $1,1,1,\ldots$ y quieres convertir los tres primeros en ceros, multiplicas por $x^3$ lo que provoca un desplazamiento del índice:
$${x^3\over 1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^{n+3}$$
Así se obtiene la misma secuencia con tres ceros introducidos al principio. Si esto todavía no es lo suficientemente explícito, se puede ver esto es:
$$\sum_{n=3}^\infty x^n$$
Al hacer el cambio de índice $n+3\mapsto n$ .
mweiss
Puntos
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Un enfoque más "hazlo tú mismo":
Denote su suma $S$ . Entonces $x \cdot S = x^4 + x^5 + \cdots$ . Ahora restando $S-xS = x^3$ . Resolver para $S$ y ya está.
Este es exactamente el mismo método utilizado para expresar un decimal repetido como una fracción, y una variación del mismo funcionará para encontrar la función generadora de cualquier secuencia repetida.
