Propiedades de las funciones analíticas

Question

He leído algunos capítulos del libro "Camino a la realidad". Parece que las funciones analíticas son uno de los conceptos más importantes del libro.

Se enumeran muchas propiedades:

1. Las funciones analíticas son de la clase $C^\omega$ . Por qué símbolo $\omega$ ?

2. Las funciones analíticas son más suaves que $C^\infty$ funciones. ¿Qué significa esto? Sólo que hay $C^\infty$ ¿funciones no analíticas? ¿O hay un significado más profundo?

3. Una función analítica es realmente una función única, no podemos construir una función analítica pegando diferentes piezas. No entiendo esto. ¿Dónde puedo encontrar los teoremas?

Answer 1

1) $\omega$ es el ordinal número que es el tipo de orden de los números naturales. No estoy seguro de que haya una razón particularmente buena para usarlo, aparte de que es un símbolo de "infinito" conveniente que no es $\infty$ (que ya está ocupado)

2) En su mayoría sólo que todas las funciones analíticas son $C^\infty$ pero no todos $C^\infty$ las funciones son analíticas. No hay nada excesivamente interesante.

3) Probablemente el Teorema de la Identidad es lo que buscas aquí: en términos generales, si sabes lo que hace una función analítica "en algún lugar" (para una definición adecuada de "en algún lugar"), entonces sabes cómo es en cualquier otro lugar. En particular, no se pueden tomar dos funciones analíticas en dominios diferentes y "unirlas" para obtener una función analítica en todo $\mathbb{C}$ excepto para un máximo de una elección de la segunda función (en contraste con las funciones suaves, para las que siempre se puede hacer esto si hay un hueco entre los dominios, independientemente de cuáles sean las funciones).