Desigualdades estrictas en un espacio de Hilbert

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y sea $x$ y $y$ sean dos puntos distintos en $H$ tal que $||x|| = ||y|| = 1$ . Entonces demuestre que $||tx+(1-t)y||<1$ , donde $0<t<1$ .

Está bastante claro que cualquier punto que se encuentre en la línea que une dos puntos distintos de una esfera y que no sea un punto final en sí mismo estará dentro de la esfera. Pero tengo problemas para deducir la desigualdad estricta aquí. Vemos que:

$$\begin{align} ||tx+(1-t)y||^2 = \langle tx+(1-t)y, tx+(1-t)y\rangle = t^2||x||^2+2t(1-t)Re\langle x,y\rangle +(1-t)^2||y||^2 \leq (t+(1-t))^2 = 1 \end{align}$$ .

Entonces, mi pregunta es cómo deshacerse de la igualdad. No puedo argumentar que $x$ y $y$ son linealmente independientes ya que pueden ser puntos diametralmente opuestos (en la esfera) y por tanto linealmente dependientes.

Answer 1

En realidad se trata de un problema de productos internos.

La última desigualdad es en realidad Desigualdad de Cauchy-Schwarz .

$$|\langle x,y\rangle| \le ||x|| \, ||y||$$ La igualdad se mantiene si $x$ y $y$ son dependientes.

Sin embargo, las condiciones dadas que $x \ne y$ y $||x||=||y||=1$ nos deja dos posibilidades:

• $x$ y $y$ son linealmente independientes, por lo que $$\Re\langle x,y\rangle \le |\langle x,y\rangle| < ||x|| \, ||y|| = 1.$$ Ponga esta estricta desigualdad a su paso, y obtendrá la conclusión deseada.
• $y = kx$ : $||y|| = 1 \implies |k| = 1$
  • en $\Bbb{R}$ , eso es $x$ y $y$ están en los polos opuestos de una esfera unitaria. Utiliza la condición dada $t \in (0,1)$ para terminar esta prueba.
  • en $\Bbb{C}$ , $\Re\langle x,y\rangle=\Re\left(\bar{k}\right) = \Re(k) \le 1$ . Utilice $x \ne y$ para hacer la desigualdad anterior estricto : $$||x-y|| = ||(k-1)x|| = |k-1| \ne 0 \implies k \ne 1$$ Poner $\Re\langle x,y\rangle = \Re(k) < 1$ de nuevo en su prueba, y hemos terminado.

Observaciones: Cuando estés atascado, piensa en qué condición(es) es(son) sin usar .