Variación del teorema de Ascoli-Arzelà para $C^1$ funciones

Question

Dejemos que $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto y que $(f_n)_n \subset C^1(\Omega)$ tal que $\exists C > 0, \, \sup_{x \in \Omega} |f_n(x)| + \sup_{x \in \Omega} |Df_n(x)| \le C$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .

Ya he demostrado que si $K \subset \Omega$ es compacto existe una subsecuencia $(f_{n_j})_j$ y existe una función $f \in C^0(K)$ tal que $||f_n - f||_{C^0(K)} \rightarrow 0$ . Esta es una aplicación no tan trivial del teorema de Ascoli-Arzelà.

Se me pide también que demuestre que existe una subsecuencia $(f_{n_j})_j$ y existe una función $f \in C^0(\Omega)$ tal que $||f_n - f||_{C^0(\Omega)} \rightarrow 0$ uniformemente en un subconjunto compacto de $\Omega$ .

Creo que debo utilizar de alguna manera lo que ya he demostrado y mi idea era tratar de aproximar $\Omega$ con una secuencia de conjuntos compactos. Sin embargo, no sé cómo proceder para encontrar la subsecuencia buscada.

Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

De hecho, la idea de aproximar $\Omega$ por una secuencia de conjuntos compactos funcionará. Sea $$ K_j:=\left\{x\in\mathbb R^n, \lVert x\rVert\leqslant j\right\}\cap \left\{x\in\mathbb R^n, d\left(x,\mathbb R^n\setminus\Omega \right)\leqslant 1/j\right\}, $$ donde $d(x,S)=\inf\{\lVert x-y\rVert,y\in S\}$ y $\lVert \cdot\rVert$ denota la norma euclidiana. Entonces $K_j$ es compacto para cada $j$ y $\Omega=\bigcup_{j\geqslant 1}K_j$ . Además, observe que cada subconjunto compacto de $\Omega$ está contenida en algún $\Omega_j$ .

Ahora se puede utilizar un proceso de extracción de diagonales para encontrar una subsecuencia para la cual la convergencia uniforme se mantiene para cada $K_j$ y en vista de la observación anterior, para cada subconjunto compacto de $\Omega$ .