Estoy de aprendizaje de Primer Orden de la Lógica de forma independiente el uso de un libro de texto de la universidad. He estado haciendo un poco de auto ejercicio de pregunta y me encontré con este, que me parece que no puede averiguar cómo hacerlo:
Que haya un lenguaje de $L = \{ +, \cdot, 0, 1, < \}\cup \{ c_{n}\mid n\in \mathbb{N}\}$ $N$ una estructura tal que $|N| = \mathbb{N}$ cual $c^N_{n} = n$ y todo el resto de la lengua se considera como el estándar de símbolos en $\mathbb{N}$ ($+$ es, además, $\cdot$ es la multiplicación, etc.). Nos deja denotar $T = Th(N)$
Para cada modelo M de T diremos que $a \in |M|$ es un infinito miembro si se sostiene que el $c^M_{n} < a$ por cada $n\in{N}$
Para cada modelo M de T diremos que $p \in |M|$ es un número primo si se sostiene que el$c^M_1 < p$, y para cada $a, b \in |M|$ si $p = a\cdot^M b$ $a = p$ o $a = c^M_1$
Demostrar que los siguientes son equivalentes:
- En $N$ existen un número infinito de números primos $p$ tal que $p +^N 2 $ es también una excelente. (Esto también se conoce como la infinidad de doble conjetura de los números primos y es un problema sin resolver en matemáticas)
- Existe un modelo de $M$, de tal manera que $M \vDash T$ con al menos una infinita prime $p$ tal que $p +^N 2 $ es también el primer
- Para cada modelo de $M$, de tal manera que $M\vDash T$ con infinito miembros existe una infinita primer tales que $p +^N 2 $ es también el primer
Me he sentado en él por más de una hora y estoy solo perdido en cuanto a cómo demostrarlo. Obviamente $3 \Rightarrow 2$ es trivial, pero no tengo absolutamente ninguna idea de qué hacer con los demás
Cualquier ayuda es muy apreciada, Gracias!
