cardinalidad de un conjunto de rectángulos no superpuestos en el plano

Question

Me han planteado una pregunta de teoría de conjuntos y quería escuchar vuestras opiniones sobre la respuesta que tenía en mente.

La cuestión es la siguiente: sea T un conjunto de rectángulos no superpuestos en el plano. Encuentra la cardinalidad máxima de T.

No estoy completamente seguro de mi respuesta, pero creo que es $$.

Mi idea era mirar las sumas de Riemann dentro de una integral - es un conjunto infinito de rectángulos no superpuestos, y la anchura de cada rectángulo se aproxima a cero, por lo que parece que podría haber tales rectángulos dentro de algún intervalo cerrado. El problema es que no estoy seguro de si la cardinalidad de estos rectángulos es realmente (y definitivamente no estoy seguro de cómo demostrarlo).

¿Cree que es una buena manera de hacerlo? ¿Estoy en la dirección correcta? (la cardinalidad podría ser menor y estoy perdiendo el tiempo...) ¿Cómo abordaría usted este problema?

Gracias de antemano.

Answer 1

En parte, esto depende de la definición de rectángulo. La noción habitual de rectángulo de la geometría de la escuela elemental es una figura plana con cuatro lados que se unen en ángulos rectos, así que vamos a considerar primero esa noción. Además, vamos a suponer que los rectángulos no son degenerados, es decir, que cada lado tiene una longitud positiva (por ejemplo, un segmento de línea podría considerarse un rectángulo si dos de sus lados tienen longitud cero; excluyamos esa posibilidad por ahora).

Dejemos que $\mathscr{R}$ sea un conjunto de rectángulos, tal que si $R,S\in\mathscr{R}$ son distintos, entonces $R\cap S =\emptyset$ . Cada uno de estos rectángulos contiene un punto con coordenadas racionales, lo que se deduce de la densidad de $\mathbb{Q}^2$ (el conjunto de puntos con coordenadas racionales) en $\mathbb{R}^2$ y el hecho de que el interior de un rectángulo no es vacío (lo que se deduce de nuestra suposición de que los rectángulos son no degenerados). Pero entonces cada punto con coordenadas racionales puede estar contenido como máximo en una forma de rectángulo $\mathscr{R}$ . De ello se deduce que $$|\mathscr{R}| \le |\mathbb{Q}|,$$ es decir, en el mejor de los casos, una colección de rectángulos disjuntos puede ser contable. Como es posible construir un conjunto contable de rectángulos disjuntos (consideremos los rectángulos de la forma $$R_n = \left[ n,n+\frac{1}{2} \right]^2,$$ donde $n$ se extiende sobre $\mathbb{N}$ la colección $\{R_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es contable, y los elementos son mutuamente disjuntos).

Por otro lado, podemos definir los rectángulos de forma más general. Por ejemplo, antes descartamos la idea de los rectángulos degenerados. Si en cambio permitimos los rectángulos degenerados, entonces podemos encontrar un conjunto incontable de rectángulos disjuntos en $\mathbb{R}^2$ : considera la colección $$\left\{ \{x\} \times [0,1] : x\in\mathbb{R} \right\},$$ que es una colección de incontables rectángulos disjuntos.