Número de subgrupos de un $p$ -grupo de índice $p^k$

Question

Dejemos que $p$ sea un primo, y que $n$ y $k$ sean enteros positivos y que $G$ sea un grupo de orden $p^n$ . Además, dejemos que $a_{p^k}$ denotan el número de subgrupos de $G$ del índice $p^k$ .

Si $a_{p^k}$ es mayor que 1 y no es congruente con $p+1$ modulo $p^2$ -- ¿se deduce que $p = 2$ y $G$ es un grupo diédrico un grupo cuasi-diédrico o un grupo cuaternario generalizado?

Answer 1

Parece que el $p>2$ parte de esto se demostró en

Kulakoff, A. , Sobre el número de subgrupos reales y elementos de orden determinado en $p$ -Gruppen. , Matemáticas. Ann. 104, 778-793 (1931). ZBL57.0146.03 .

y el $p=2$ parte en

Easterfield, T. E. Una extensión de un teorema de Kulakoff, Proc. Camb. Philos. Soc. 34, 316-320 (1938). ZBL0019.10802 .