Tengo la siguiente definición, algo torpe, de diferenciación covariante a lo largo de una curva:
Dejemos que $S \subseteq \mathbb{R}^N$ sea una variedad suave e isométrica incrustada, y $\alpha : I \to S$ sea una curva suave. El derivada covariante a lo largo de la curva $\alpha$ de un campo vectorial $V: I \to \mathbb{R}^N$ , $V(t) \in T_{\alpha(t)}S$ para cada $t \in I$ es la proyección ortogonal de $\dot{V}$ en $T_{\alpha(t)}S$ .
Creo que debería ser fácil demostrar que si tengo una isometría $f: S \to \tilde{S}$ entonces la diferenciación covariante y la diferencial $df$ debería conmutar de la manera obvia, es decir $$ df \left( \nabla_{\dot{\alpha}} V \right) = \nabla_{df(\dot{\alpha})} \left( df(V) \right) $$ pero pasé la mayor parte de la tarde pensando en ello sin ningún éxito, momento en el que recurrí a tomar gráficos y comparar expresiones de coordenadas. Eso fue fácil pero me pareció una trampa. ¿Hay alguna forma de hacerlo directamente desde la definición, aprovechando el hecho de que $S$ y $\tilde{S}$ ¿son colectores incrustados?
