¿Por qué las pequeñas perturbaciones de una matriz no disminuyen su rango?

Question

Quiero demostrar que si $F:\mathbb{R^n}\to\mathbb{R^m}$ tiene una derivada de rango = r en un punto $p$ entonces hay una vecindad de ese punto donde el rango de la función no disminuye, es decir $\exists N=B(p, \delta)$ tal que $rk(DF_x) \geq rk(DF_p) ~ \forall x\in N$

Answer 1

Utiliza la continuidad del determinante. Si el rango es $r$ la matriz jacobiana tiene un $r$ -por- $r$ submatriz $A$ con determinantes no nulos. Al perturbar el punto perturbará la matriz jacobiana y así $A$ . Como el determinante es una función continua función de sus entradas, una perturbación lo suficientemente pequeña dejará el nuevo $A$ con determinante no nulo, por lo que la nueva matriz jacobiana tendrá rango $\ge r$ .

Answer 2

El "por qué no ... disminuye su rango" es porque es difícil disminuir el rango. El rango está en casi todas partes en su valor más alto posible, con excepciones especiales que son destruidas por la perturbación.

Habrá un rango máximo $r(f) \quad$ que se mantiene en casi todos los puntos, y posiblemente en algunos puntos de menor rango contenidos en trozos de menor dimensión del dominio de $f$ .

El rango inferior es una propiedad inestable. La perturbación lejos de un punto de bajo rango destruye el rango bajo y lo sustituye por el rango máximo, a menos que se perturbe en direcciones especiales que permanezcan dentro del locus de baja dimensión donde el rango es inferior al máximo. En el "punto genérico", el rango es el máximo posible, $r(f)$ y para cualquier punto, todos o (en el caso de puntos de bajo rango, casi todos) los puntos cercanos a los que se puede perturbar, serán genéricos.

Como en la respuesta de Robin Chapman, esto se debe a que el bajo rango requiere algunas funciones (determinantes) calculadas a partir de $Df$ sea igual a cero, mientras que el rango máximo requiere que sea distinto de cero. La primera propiedad es inestable y la segunda es estable con respecto a la perturbación. También es cierto que el rango no puede disminuir a través de una pequeña perturbación, porque el conjunto de determinantes que son distintos de cero sólo puede expandirse a medida que uno se desplaza a un punto suficientemente cercano.

http://en.wikipedia.org/wiki/Sard%27s_theorem

Answer 3

Lewis 2009 (enlace abajo) muestra que $rank (A(x))$ es semicontinuo inferior y dice que esto significa $rank(A(x))$ no disminuye en una vecindad suficientemente pequeña de cualquier punto x.

http://www.mast.queensu.ca/~andrew/notas/pdf/2009a.pdf