Dada una $n \times n$ matriz $A$ en $\mathbb{C}$ con traza no nula y rango $1$ ¿por qué siempre se sostiene que $A$ ¿es diagonalizable? Creo que es por el hecho de que esta matriz tiene un valor propio $0$ con $n-1$ multiplicidad geométrica, pero tampoco entiendo bien este hecho.
Respuesta
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Una respuesta breve es que la traza no nula nos permite construir una base de vectores propios.
Prueba: Desde $A$ tiene rango $1$ existe un vector $v_1$ tal que todas las columnas de $A$ son múltiplos escalares de $v_1$ . En otras palabras, existe un vector $u_1$ tal que
$$ A = v_1u_1^H. $$
Completa $v_1$ a una base ortonormal $v_1, v_2, \dots, v_n$ y $u_1$ a una base ortonormal $u_1, u_2, \dots, u_n$ .
Ahora defina $\lambda = u_1^Hv_1$ y observe que
$$ \lambda = u_1^Hv_1 = {\rm tr}(A) \ne 0 $$
y así $v_1, u_2, \dots, u_n$ es una base. Además
$$ Av_1 = \lambda v_1 \\ Au_2 = 0 \\ \dots \\ Au_n = 0 $$
así que $v_1, u_2, \dots, u_n$ es una base de vectores propios de $A$ . La conclusión se deriva del hecho de que toda matriz con una base de vectores propios es diagonalizable.
Observación: Tenga en cuenta que si la traza es cero, entonces $A$ es nilpotente y la única matriz nilpotente que es diagonalizable es la matriz cero.
