En el libro de texto de probabilidad Lemma 5.8 de Upfal, trata de justificar $\int_{1}^{n}\ln x \,dx \geq \sum_{i = 1}^{n} \ln i -\frac{\ln n }{2}$ con concavidad de $\ln x$ No entiendo bien su argumento, ¿alguien puede explicarlo?
Respuesta
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Una función cóncava $f$ en un intervalo $[a,a+1]$ satisface $$ f(a+x) \ge (1-x)f(a) + x f(a+1) $$ para todos $x \in [0,1]$ . Integrar esta desigualdad sobre $x \in [0,1]$ para deducir $$ \int_a^{a+1} f(x) \ge \frac{f(a) + f(a+1)}{2}. $$ Por lo tanto, $$ \int_j^{j+1} \ln x dx \ge \frac{\ln j + \ln (j+1)}{2} $$ para todos $j>0$ . Ahora suma esto de $j = 1$ a $j = n-1$ Utilizar $\ln 1 = 0$ y realizar un poco de álgebra simple para obtener $$ \int_1^n \ln d x \ge \frac{1}{2} \ln 1 + \sum_{j=2}^{n-1} \ln j + \frac{\ln n}{2} = \sum_{j=1}^n \ln j - \frac{\ln n}{2} . $$
