Demostrando que $\mathbb{Q}\cap [0,2]$ no es compacto

Question

Quiero demostrar que $\mathbb{Q}$ no es compacto en $[0,2]$ describiendo una cubierta abierta para la que no hay una subcubierta finita. La cubierta que se me ocurrió es:

$\left(-1, \sqrt{2}-\frac{1}{n}\right) \cup\left(\sqrt{2}+\frac{1}{n} ,3\right)$ para $ n \in \mathbb{N}$

¿Funciona esta cubierta? Porque siempre habría un número racional entre $\sqrt{2}-\frac{1}{n}$ y $\sqrt{2}$ para cualquier $ n \in \mathbb{N}$

Tenga en cuenta que estoy definiendo $\mathbb{N}$ como todos los enteros $\ge1$

Answer 1

Sí, su tapa abierta funciona bien.

Debo decir que no me gusta el título de tu pregunta ni la descripción del problema. Lo que quiere demostrar es que $\mathbb{Q}\cap[0,2]$ no es compacto.

Answer 2

Considere una secuencia que "quiere" converger a, digamos $\sqrt 2$ ( Cualquier irracional en [0,2] servirá), como, por ejemplo, { $ 1, 1.4, 1.41.., ....$ }. No tiene una subsecuencia convergente, por lo que no puede ser compacta, ya que en un espacio métrico compacto toda secuencia tiene una subsecuencia convergente. Básicamente esto resulta del hecho de que $\mathbb Q$ no es completo; para los espacios métricos tenemos : Compacto = Completo + Totalmente - Acotado.