Cálculo de la variación cruzada de movimientos brownianos independientes

Question

Estoy familiarizado con el cálculo de la variación cuadrática del movimiento browniano, pero me confundí cuando el texto en el que estoy trabajando introdujo la variación cruzada de movimientos brownianos independientes. la notación es la siguiente:

$$\langle X,Y\rangle_t = \lim_{||\Delta||\to 0} \sum_i(X_{t_{i+1}}-X_{t_i})(Y_{t_{i+1}}-Y_{t_i}) $$

Donde $X_t$ y $Y_t$ son movimientos brownianos independientes y $\Delta$ es una partición de $[0,t]$ . Creo que para proceder debería intentar calcular el $L^2$ límite (como se insinúa en el texto), pero no estoy seguro de por dónde empezar. La cuestión es que la única forma que conozco de demostrar que $X_n\to X$ en $L^2$ es demostrando que $E[| X_n-X|]\to0$ pero no sé qué usar para $X$ aquí ya que estoy tratando de calcular el límite. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $U^\Delta_i=(X_{t_{i+1}}-X_{t_i})(Y_{t_{i+1}}-Y_{t_i})$ entonces $E((U^\Delta_i)^2)=(t_{i+1}-t_i)^2$ y $E(U^\Delta_iU^\Delta_j)=0$ por cada $i\ne j$ por lo que el cuadrado de la $L^2$ norma de la RHS para la subdivisión $\Delta$ es $$ \sum_i(t_{i+1}-t_i)^2\leqslant\|\Delta\|\cdot t. $$ Editar: Los procesos $X$ y $Y$ son independientes, por lo tanto, para cada $i$ , $$ E((U^\Delta_i)^2)=E((X_{t_{i+1}}-X_{t_i})^2)\cdot E((Y_{t_{i+1}}-Y_{t_i})^2)=(t_{i+1}-t_i)\cdot(t_{i+1}-t_i). $$ Igualmente, $X$ y $Y$ son independientes, los incrementos de $X$ son independientes y los incrementos de $Y$ son independientes, por lo tanto, para cada $i\ne j$ , $$ E(U^\Delta_iU^\Delta_j)=E(X_{t_{i+1}}-X_{t_i})\cdot E(Y_{t_{i+1}}-Y_{t_i})\cdot E(X_{t_{j+1}}-X_{t_j})\cdot E(Y_{t_{j+1}}-Y_{t_j})=0\cdot0\cdot0\cdot0. $$