Potencias módulo de un entero fijo

Question

Decimos que un conjunto $A\subseteq \mathbb{N}$ tiene medida positiva si $$\text{lim inf}_{n\to\infty}\frac{|A\cap\{1,\ldots,n\}|}{n} > 0.$$

Para $b\in\mathbb{N}$ con $b>1$ consideramos los conjuntos $$S_b := \big\{c\in\mathbb{N}:\{b^n \text{ mod } c:n\in\mathbb{N}\}=\{1,\ldots,c-1\}\big\}.$$

¿Existe $b>1$ tal que $S_b$ tiene una medida positiva?

¿Existe $b>1$ tal que $S_b$ tiene no ¿medida positiva?

Answer 1

Tal como está escrita, la pregunta parece tener un problema (señalado por el usuario35593): Si las potencias de $b$ realmente dar a todos los $1, 2, \dots, c-1$ mod $c$ entonces $c$ debe ser primo, y así ciertamente no obtenemos medida positiva. (Por cierto, el término ``densidad inferior positiva'' parece más estándar en este contexto).

Así que permítanme responder a una pregunta diferente: Fijar un número entero $b$ y pide números enteros positivos $n$ donde los poderes de $b$ generan un subgrupo cíclico del máximo tamaño posible. En otras palabras, queremos enteros $n$ para el que el orden de $b$ mod $n$ es el exponente del grupo $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ . ¿Obtenemos aquí una densidad positiva más baja?

Si restringimos nuestro universo a los primos $n$ Hay una conjetura bien conocida de Artin de que la respuesta suele ser afirmativa. Por ejemplo, si $b=2$ Entonces, alrededor del 37,4% de primos $n$ debe tener la propiedad indicada.

¿Y si no nos limitamos a las primarias $n$ ? Hay un hermoso teorema de Shuguang Li que dice que para cada $b$ la respuesta es no . La menor densidad de tales $n$ es siempre $0$ .

Por otro lado, para la mayoría de los $b$ la densidad superior (definida como antes pero con $\limsup$ sustituyendo a $\liminf$ es positiva), al menos si se cree en la GRH (un resultado de Li y Pomerance).

Todo esto se explica mejor de lo que yo he hecho aquí en este artículo de Li y Pomerance: https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/primitiverootstoo.pdf