Demostrar que $f(x) = 3-\cos(x)$ para todos $x\in [0,\pi]$

Question

Supongamos que $f(x)$ es diferenciable en todas partes, de manera que

$f(0) = 2$ , $f(\pi)=4$ y $f'(x)\ge\sin(x)\quad \forall x.$

entonces demuestre que $f(x) = 3-\cos(x)$ para todos $x \in [0, \pi]$

Answer 1

Sugerencia: deje que $\,g(x)=f(x)-3+\cos(x)\,$ entonces el problema se puede replantear como " dado $\,g(0)=g(\pi)=0\,$ y $\,g'(x)\ge 0\,$ entonces demuestre que $\,g(x) = 0\,$ en $\,[0,\pi]\,$ ".