Si los ángulos $A$ , $B$ , $C$ de cuadrilátero convexo $\square ABCD$ son iguales, entonces $D$ se encuentra en la línea de Euler de $\triangle ABC$

Question

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ ángulos en $A,B,C$ son iguales. Demostrar que el vértice $D$ se encuentra en la línea de Euler del triángulo $ABC$ .

Mi intento: Podemos usar números complejos. Establecer la circunferencia del triángulo $ABC$ como el círculo unitario. Ahora tenemos que demostrar que $d = k(a + b + c + d)$ . Sólo que no sé cómo manejar la condición del ángulo (he pensado en conectar $D$ con $A$ y $C$ a través de la similitud espiral compleja pero eso ya es mucho trabajo y creo que este tipo de problema debería tener una solución mucho más simple, supongo que simplemente no me gustan estas técnicas computacionales :) ).

Answer 1

Dejemos que $AD$ y $BC$ se reúne en $M$ y que $AB$ y $CD$ se reúnen en $N$ . Sea $A'$ sea un punto medio de $BC$ y $C'$ sea un punto medio de $AB$ .

Así que $MC'$ y $A'N$ son perpendiculares a $AB$ y $BC$ Así que se reúnen en $S$ El centro de la circunvalación de $ABC$ .

Líneas $AA'$ y $CC'$ se reúnen en $G$ el centro de gravedad para $ABC$ .

Ahora por el teorema de Pappus $S,G$ y $D$ son colineales.