¿en qué consiste la manipulación? $(|z+h|^2-|z|^2)/h$ como $h \Rightarrow 0$ ?

Question

Necesito demostrar que este límite es la circunferencia $C(\overset{-}{z},|z|))$ pero me estoy retorciendo al final de este cálculo

$\displaystyle\underset{z \Rightarrow 0}{\lim} \frac{(z+h)(\overset{-}{z}+\overset{-}{h}) - |z|}{h} = \underset{z \Rightarrow 0}{\lim} \frac{\overset{-}{z}h + z\overset{-}{h}+\overset{-}{z}\overset{-}{h}}{h}$

cómo puedo poner $h$ en las pruebas en este caso?

Answer 1

Obsérvese que podemos escribir

$$\begin{align} \frac{|z+h|^2-|z|^2}{h}&=\frac{z\bar h+\bar zh+|h|^2}{h}\\\\ &=\frac{2\text{Re}(\bar zh)+|h|^2}{h}\\\\ &=\frac{2|z||h|\cos(\theta-\phi)+|h|^2}{h} \end{align}$$

donde $z=|z|e^{i\theta}$ y $h=|h|e^{i\phi}$ .

El límite $\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}$ no existe ya que el límite del lado izquierdo y el límite del lado derecho no son iguales.

Por lo tanto, el límite $\lim_{h\to 0}\frac{|z+h|^2-|z|^2}{h}$ no existe, excepto cuando $z=0$ donde el límite es $0$ .