Dejemos que $\pi:\mathcal{X} \to B$ sea una familia plana de esquemas proyectivos, $B$ es irreducible. Sea $\mathrm{Spec} K$ ser un genérico punto sobre $B$ . Denote por $\mathcal{X}_K$ El retroceso de $\mathcal{X}$ . Esto es plano, proyectivo en $K$ . De ello se desprende que $\mathcal{X}_{K_{\mathrm{red}}}$ el esquema reducido asociado, es también plano, esquema proyectivo sobre $K$ . Supongamos que existe una subfamilia de $\pi$ , digamos que $\pi':\mathcal{X}' \to B$ una familia plana de esquemas proyectivos que satisface $\mathcal{X}'_b \subset \mathcal{X}_b$ para todos $b \in B$ y $\mathcal{X}'_K = \mathcal{X}_{K_{\mathrm{red}}}$ . ¿Significa esto que para un general punto cerrado $b \in B$ la fibra $\mathcal{X}'_b=\mathcal{X}_{b_{\mathrm{red}}}$ ¿el esquema reducido asociado? Si no es cierto en general, ¿hay alguna condición conocida sobre $B$ o $\pi$ ¿bajo qué condiciones podría ser esto cierto?
Respuesta
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Esto es cierto si se asume además que $(\mathcal{X}_K)_{red}$ es geométricamente reducido - en particular, en la característica $0$ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que la teoría de conjuntos $\mathcal{X}'_b=\mathcal{X}_b$ para todos $b$ en $B$ : ya que $\pi $ abierto, $\pi (\mathcal{X}-\mathcal{X}')$ es un subconjunto abierto de $B$ que no contiene el punto genérico, por lo que está vacío. Ahora el subconjunto $U\subset B$ de puntos $b$ tal que $\mathcal{X}'_b$ es geométricamente reducida es abierta en $B$ (EGA IV, Thm. 12.2.4), por lo que para $b\in U\ $ $\mathcal{X}'_b$ se reduce, y por lo tanto es igual a $(\mathcal{X}_b)_{red}$ .
No soy un experto en características $p$ pero sospecho que puede haber contraejemplos si uno no asume que $(\mathcal{X}_K)_{red}$ se reduce geométricamente.
