Con cien centímetros de tinta dibujo un cuadrado y un círculo para que la suma de las áreas sea mínima.

Question

"Con cien centímetros de tinta dibujo un cuadrado y un círculo para que la suma de las áreas sea un mínimo. ¿Cuál es la longitud del perímetro del cuadrado? (Sugerencia: Encuentra el área en función de p. Espera una docena de líneas de cálculo)".

Sé que la respuesta es 400/(+4), pero no tengo ni idea de cómo llegar. Llevo dos horas trabajando, pero no parece que me acerque.

Answer 1

Dejemos que $s$ sea la longitud del lado del cuadrado, y $r$ el radio del círculo. Sabes que $$ 4s+2\pi r=100. $$ Y quieres minimizar $$ s^2+\pi r^2=s^2+\pi\left( \frac{100-4s}{2\pi}\right)^2=s^2+\frac{(50-2s)^2}{\pi}. $$ Si se diferencia con respecto a $s$ y se iguala a cero, se obtiene (después de dividir por $2$ ) $$ s-\frac{2(50-2s)}\pi=0. $$ Resolver para $s$ obtenemos $$ s=\frac{100}{\pi+4}. $$ Así que ese es el lado del cuadrado. Para obtener el perímetro del cuadrado, multiplica por $4$ .

Podemos confirmar que se trata de un mínimo comprobando la segunda derivada, o notando que estábamos minimizando una parábola, donde hay un único punto crítico.