Siempre creí que el valor p era $P(H_0|Data)$ -- lo que, para mi sorpresa, aprendí recientemente que no era el caso -- Nota: Estudié probabilidad frecuentista tradicional.
¿Cómo se puede expresar el valor p en términos de conceptos bayesianos, suponiendo que se pueda?
La definición tradicional frecuentista de un $p$ -valor es, a grandes rasgos, la probabilidad de obtener resultados tan o más inconsistentes con la hipótesis nula que los obtenidos. $H_0$ no puede observarse ni variar aleatoriamente, por lo que su aparición en un enunciado de probabilidad es una aberración de la notación frecuentista.
Si $T$ es una estadística que resume un experimento tal que $T$ toma un valor conocido (asumiendo WLOG que es 0) cuando la hipótesis nula es verdadera, y toma valores distintos de cero en caso contrario, una expresión notacional podría ser $p = P_{H_0} (t > T)$ , donde $t$ es la distribución muestral del estadístico de la prueba, una distribución hipotética de réplicas del mismo experimento que usted realizó. El condicional, $H_0$ impone algunas restricciones a $t$ para que adopte una forma conocida bajo el nulo, y esto permite realizar comparaciones sin necesidad de llevar a cabo miles y miles de réplicas del experimento.
Para explicar un valor "p" frecuentista en términos bayesianos necesitamos algo de claridad. La probabilidad bayesiana y las pruebas bayesianas son dos conceptos distintos. El cociente de probabilidad puede entenderse a grandes rasgos como un factor de Bayes sin un previo. La probabilidad bayesiana no nos ayuda a entender una prueba frecuentista $p$ -valor porque $H_0$ "fija" el parámetro en un valor determinado, y los bayesianos no consideran que los datos varían aleatoriamente (en el sentido de los experimentos repetidos).
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