Determinar la imagen de $\arg(z)= \alpha$

Question

Dejemos que $f$ sea una función compleja definida por $f(z)=\frac1z$ . Tengo que encontrar la imagen de $\arg(z)= \alpha$ en $f$ .

No sé cómo resolver este problema :(

Answer 1

$\arg(z)=\alpha$ es la ecuación de una recta que pasa por el origen y forma un ángulo $\alpha$ con el $x$ eje. Ahora bien, si $z=re^{i\alpha}$ entonces $1/z=r^{-1}e^{-i\alpha}$ y así $\arg{1/z}=-\alpha$ . Así que la imagen es la línea que pasa por el origen y hace un ángulo $-\alpha$ con el $x$ eje.

Answer 2

$$ \frac{\bar{z}}{\bar{z}} \left(\frac{1}{z}\right) = \frac{\bar{z}}{\bar{z} z} $$

$$ \text{Re}\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{x} {\bar{z}{z}}, \qquad \text{Im }\left(\frac{1}{z}\right)= -\frac{i y}{\bar{z}z} $$

Dado el punto $z = x + i y$ El argumento de $1/z$ es $$ Arg \left( \frac{1}{z} \right) = \arctan \frac{\text{I'm}\left(\frac{1}{z}\right)}{\text{Re}\left(\frac{1}{z}\right)} $$