La demostración en los nuevos fundamentos de Quine

Question

Estoy leyendo el documento New Foundations de Quine. Sin embargo, hay muchas preguntas que no consigo responder. Diría que todas ellas conducen a la pregunta: ¿cómo demostrar las cosas en NF? Por ejemplo, ¿es demostrable en NF que

$\forall x (x \in \{x\})$

o la conmutatividad de la identidad, siendo esta última definida como

$x = y \stackrel{def}{=} \forall w (x \in w \rightarrow z \in w)$

y, por último, ¿cómo se demuestra -si es posible- que

$x = y \wedge z \in x \rightarrow z \in y$

con sólo los axiomas y definiciones que Quine proporciona en su documento?

Se me ocurrieron estas preguntas en relación con algo que dice Quine en su artículo. Dice que el principio de abstracción "sin restricciones"

$\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow \phi)$

para $x$ que no se produce en $\phi$ , proporciona una clase $x$ sobre el que dice "viz. $\widehat{y} \phi$ ". Ahora bien, creo que esto significa que a partir del principio de abstracción se puede demostrar $\widehat{y}\phi$ para cualquier $\phi$ del tipo requerido, ¿es así? Ni siquiera consigo demostrar que

$x = y \rightarrow x \subset y \wedge y \subset x$

Answer 1

Para demostrar en $\mathsf {NF}$ el conjunto de propiedades de igualdad Necesitamos ambas cosas:

D8. $(a=b) \text { for } (\forall x)((a \in x) \to (b \in x))$ ,

y extensionalidad :

P1. $((x \subseteq y) \to ((y \subseteq x) \to (x = y)))$ .

A partir de la definición de inclusión :

D7. $(a \subseteq b) \text { for } (\forall x)((x \in a) \to (x \in b))$ ,

nos encontramos con que: $a \subseteq a$ y aplicando P1 obtenemos:

1) $a=a$ .

Desde D8, utilizando el abstracción (para Quine, utilizando el operador La notación de Principia Mathematica : $\hat x \phi(x)$ en términos modernos: $\{ x \mid \phi(x) \}$ ) , obtenemos:

$(a=b) \to (a \in \{ x \mid \varphi(x) \}) \to (b \in \{ x \mid \varphi(x) \})$

y así:

2) $(a=b) \to (\varphi(a) \to \varphi(b))$ .

Ahora podemos jugar con $\varphi$ para conseguirlo:

$(a=b) \to ((a=c) \to (b=c))$ ,

$((a=b) \land (b=c)) \to (a=c)$ ,

y:

3) $(a=b) \to (b=a)$ .

Ahora, todas las normas previstas para igualdad están en su sitio.

De 2) obtenemos: $(a=b) \to ((a \in c) \to (b \in c))$ , así como: $(a=b) \to ((c \in a) \to (c \in b))$ .

Utilizando 3) concluimos con:

$(a=b) \to (\forall x) ((x \in a) \leftrightarrow (x \in b))$ .

Desde extensionalidad que tenemos:

$((\forall x) ((x \in a) \leftrightarrow (x \in b)) \to (a=b))$ ,

y así tenemos finalmente:

$(a=b) \leftrightarrow (\forall x) ((x \in a) \leftrightarrow (x \in b))$ .

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En cuanto a la singleton tenemos, por definición de inclusión : $\{ x \} \subseteq a \leftrightarrow (\forall y) (y \in \{ x \} \to y \in a)$ y utilizando la definición de singletion $\{ x \} = \{ z \mid z=x \}$ y el hecho de que $y \in \{ z \mid z=x \} \leftrightarrow (y=x)$ obtenemos:

$\{ x \} \subseteq a \leftrightarrow (\forall y) (y =x \to y \in a)$ .

Desde igualdad Tenemos eso: $\phi(x) \leftrightarrow (\forall y)((y = x) \to \phi(y))$ y por lo tanto:

$\{ x \} \subseteq a \leftrightarrow (x \in a)$ .

Pero: $\{ x \} \subseteq \{ x \}$ y por lo tanto:

$x \in \{ x \}$ .