Hace poco empecé a leer el libro de Hatcher para autoestudio. En la página $46$ da tal ejemplo que es un producto libre y no un grupo libre.
No entiendo muy bien la explicación que se da en el libro. ¿Debo demostrar que cualquier subconjunto de $\mathbb{Z}_2\ast\mathbb{Z}_2$ no puede ser la base de un grupo libre?
En segundo lugar, ¿cuál es la relación entre los grupos abelianos libres y los grupos libres?
Un grupo libre sólo tiene generadores y no relaciones. Un producto libre de dos grupos significa algo bastante diferente: en cierto sentido, si $A$ y $B$ son grupos, el producto libre de $A$ y $B$ , escrito $A*B$ es lo más parecido a la gratuidad, dado que $A$ y $B$ son subgrupos del mismo: es decir, no hay relaciones adicionales en la parte del producto libre de las ya dadas en $A$ y $B$ por separado. Por lo tanto, el producto libre $A*B$ es a su vez un grupo libre si y sólo si $A$ y $B$ ya son grupos libres. El producto libre de dos subgrupos cíclicos de orden $2$ por lo tanto no tiene ninguna posibilidad de ser un grupo libre (de hecho se comprueba fácilmente que es un grupo diédrico infinito). Otra construcción teórica de grupos común que implica la palabra "libre" es el producto libre con amalgama, o simplemente amalgama, de dos grupos. Un buen lugar para leer sobre estas cosas es el libro de J.P. Serre "Trees".
(Su primera pregunta fue respondida por i.m. soloveichik en los comentarios).
Un grupo libre generado por un conjunto de generadores es, en cierto sentido, el grupo más grande que se puede hacer con esos generadores.
Un grupo abeliano libre generado por un conjunto de generadores es, asimismo, el mayor grupo abeliano que se puede hacer con esos generadores.
Ser "libre" significa esencialmente que el grupo no está sujeto a ninguna relación. Que los elementos tengan un orden finito es un caso especial de satisfacer la relación $a^n=1$ (o $na=0$ cuando nuestro grupo se escribe de forma aditiva).
La no abeliana será normalmente mayor, porque no están sujetas a la simplificación que proporcionan las operaciones conmutativas.
No soy una persona de grupos abelianos, pero supongo que si se toma el grupo libre en algunos generadores y se modifica el subgrupo normal generado por elementos de la forma $aba^{-1}b^{-1}$ entonces el grupo cociente será el mismo que el grupo abeliano libre sobre esos generadores. (Modificar ese subgrupo obliga al cociente a ser conmutativo).
Esto sólo concierne a tu última pregunta sobre grupos abelianos libres y libres. Esta es una manera de pensar en esto. Considera los funtores olvidados $$Groups \to Sets \text{ and } Abelian Groups \to Sets$$ que sólo ven los grupos como conjuntos y los homomorfismos de grupo como mapas de conjuntos.
Ahora afirmo que estos funtores tienen adyacentes izquierdos, llamados funtores libres. Estos toman un conjunto y te dan un grupo o un grupo abeliano (dependiendo de si ves un grupo abeliano como un objeto de Grupos o grupos abelianos).
En general, siempre es una buena intuición que un objeto "libre" provenga de un adjunto izquierdo a un functor olvidadizo. Es decir, si tienes algún objeto con estructura extra, siempre puedes olvidar esta estructura extra y sólo recordar "el resto" del objeto. Un objeto libre en tu categoría es entonces algo que proviene del adjunto izquierdo de tu functor olvidadizo (aunque este adjunto izquierdo no siempre tiene que existir). Nótese que esto no sólo depende de la categoría de partida, sino también de "cuánto" se olvida. Por ejemplo, cuando se tiene un grupo abeliano, se puede olvidar primero que es abeliano y verlo simplemente como un grupo, y luego olvidar la estructura de grupo, o se puede olvidar directamente todo.
Lo que quiero decir es que tanto los grupos abelianos libres como los libres son (en el sentido anterior) sólo objetos libres en la categoría de grupos abelianos respectivamente de grupos, la gratuidad se refiere al funtor de olvido a conjuntos.
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