Estoy interesado en resolver el siguiente problema de valores propios biharmónicos.
$$\begin{array}{cccc} & \Delta ^2 \Psi (x,y) = \lambda \Psi (x,y), & - a \le x \le a & - b \le y \le b \\ & x = a & \Psi = 0 & \dfrac{\partial \Psi }{\partial x} = 0 \\ & x = - a & \Psi = 0 & \dfrac{\partial \Psi }{\partial x} = 0 \\ & y = b & \Psi = 0 & \dfrac{\partial \Psi }{ \partial y} = 0 \\ & y = - b & \Psi = 0 & \dfrac{\partial \Psi }{ \partial y} = 0 \end{array} $$
donde
$$ \Delta^2 \Psi = \frac{\partial ^4 \Psi }{\partial x^4} + 2 \frac{\partial^4 \Psi }{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial ^4 \Psi }{\partial y^4}$$
$$\Psi \in {{\bf{C}}^{\infty}}\left( {[ - a,a] \times [ - b,b]} \right)$$
Para describir el problema en palabras, estamos buscando las funciones propias del operador biharmónico sobre un dominio rectangular donde todas sus derivadas son continuas. Las condiciones de contorno son de tipo Dirichlet, es decir, la función y su derivada normal están prescritas sobre la frontera del dominio rectangular.
Hechos y motivaciones
1) Este problema se da en muchos ámbitos físicos. Uno de los más famosos es el de la vibración de una placa de abrazadera isotrópica rectangular.
2) Es creía entre los ingenieros que el problema no tiene una forma cerrada solución. Cabe preguntarse si incluso el problema tiene solución o no. La evidencia numérica muestra que tal solución puede existir. Sin embargo, estoy buscando alguna base teórica sólida para demostrar la existencia de la solución, así que planeé plantear esta pregunta en una sociedad de matemáticos.
Preguntas
1) ¿Existe alguna solución distinta a cero para este problema? En otras palabras, estoy preguntando un existencia o inexistencia teorema para este problema.
2) Asumiendo la existencia, ¿Cómo se puede calcular estos valores propios y funciones propias?
Actualizaciones
1) Esta pregunta recibió más atención en Matemáticas Stack Exchange . También puedes echar un vistazo allí.
2) Se da una prueba de la existencia allí por TKS.
